导言
光作为一种重要的信息载体和能量形式，其特性与行为的研究一直是光学领域的核心内容。涡旋光是一种具有独特螺旋相位结构和轨道角动量的特殊光束，与传统的平面波或高斯光束不同，其波前呈现螺旋状，相位分布围绕光束中心具有2π的整数倍变化，这使得每个光子携带了与拓扑电荷数相关的轨道角动量。这种独特的性质赋予了涡旋光在众多领域（光通信、光学成像、光学操纵、量子光学、激光加工、光存储等领域）潜在的应用价值。研究涡旋光的衍射特性，不仅有助于深入理解涡旋光的基本物理性质，揭示其在传播过程中的行为规律，还能为上述应用提供坚实的理论基础，推动相关技术的发展和创新。通过对涡旋光衍射的研究，可以优化涡旋光的产生、传输和检测方法，提高其在实际应用中的性能和效率，从而为解决实际问题提供更有效的光学工具和技术方案。
摘要
本文就基于衍射图样的拓扑电荷数测量方法进行了理论分析、数值模拟和实验验证。在理论分析方面，基于惠更斯-菲涅尔原理和标量衍射理论，建立涡旋光衍射的数学模型，推导涡旋光在不同衍射条件下的光场分布表达式，结合数值模拟，利用 MATLAB软件平台，编写相应的程序对涡旋光衍射过程进行模拟仿真。通过数值模拟，可以直观地展示涡旋光在不同参数条件下的衍射光场分布情况，深入分析各种因素对衍射特性的影响，为实验研究提供指导和补充。在实验研究方面，搭建涡旋光产生与衍射实验平台，利用空间光调制器、螺旋相位板等光学元件产生不同拓扑电荷数的涡旋光，并通过设置不同的衍射障碍物或孔径，观察和记录涡旋光的衍射图样。采用 CCD 相机、光电探测器等设备对衍射光场进行测量和分析，获取实验数据，验证理论分析和数值仿真的正确性。
涡旋光衍射理论分析
基于惠更斯 - 菲涅尔原理和标量衍射理论，可对涡旋光的衍射特性进行深入的理论分析。假设涡旋光的初始电场分布为[数学公式]，在柱坐标系下，其表达式可写为：
其中，[数学公式]是振幅函数，描述了涡旋光在径向的振幅分布，l为拓扑荷数，[数学公式]是方位角。
当涡旋光遇到衍射障碍物或通过衍射孔径时，根据惠更斯 - 菲涅尔原理，波面上的每一点都可看作是新的子波源，这些子波源发出的子波在空间中相互干涉、叠加，从而形成衍射光场。对于菲涅尔衍射，在距离衍射屏z处的光场分布[数学公式]可通过菲涅尔衍射积分公式计算：
其中，[数学公式] 为波数，[数学公式]是光的波长，[数学公式]是衍射屏上的坐标，[数学公式]是观察平面上的坐标。
在夫琅禾费衍射条件下，当接收屏和衍射屏的距离足够远时，衍射光场的分布可通过夫琅和费衍射衍射积分公式简化计算：
在衍射过程中，涡旋光的相位和强度会发生显著变化。由于涡旋光本身具有螺旋相位结构[数学公式]，在衍射时，这种相位结构会与衍射引起的相位变化相互作用。对于相位变化，衍射会导致相位的重新分布，使得涡旋光的螺旋相位在空间中的分布发生改变，从而影响其波前的形状和传播方向。而在强度方面，衍射会使涡旋光的光强分布发生变化，原本的环形光强分布在衍射后可能会出现旁瓣、暗纹等复杂结构，光强的最大值和最小值的位置也会发生改变。通过对上述衍射积分公式的分析和计算，可以深入了解涡旋光在衍射过程中相位和强度的具体变化规律，为进一步研究涡旋光的衍射特性提供理论基础。
涡旋光经过不同光阑的衍射计算模型
假设涡旋光经过一个特殊形状的光阑（三角形、星形、方形、太极形等），光阑放置在处为初始光场平面，假设光阑可用数学形式[数学公式]表示，则此时涡旋光经过此光阑后在观察面z处的光场分布可以用衍射积分公式进行计算：
衍射孔径的形状对涡旋光的衍射图样有着显著影响。不同形状的衍射孔径会导致不同的衍射图样特征。
数值仿真理论基础
理论上可以用衍射积分公式进行直接积分或者进行直接的数值计算，但是在实际数值仿真计算中，我们可以将衍射积分公式进行改写，其在直角坐标系下可以写为
将上式中积分内的指数项展开，得
定义脉冲响应：
令初始光场为[数学公式],则观察面z处的光场复振幅分布为
式中，[数学公式] 表示卷积。由卷积定理可得
对脉冲响应进行傅里叶变换，得到菲涅尔传递函数[数学公式]如下
因此，观察面z处的光场可改写为
由此得到了新的衍射计算形式，通过计算初始平面光场的频谱，而后乘以传递函数得到观察面的频谱，最后进行傅里叶逆变换得到观察面的光场。而上述计算形式结合MATLAB软件平台中的fft2和ifft2函数可以非常快速的进行数值仿真计算。
涡旋光束经过不同光阑后的数值仿真结果
利用写好的MATLAB代码我们仿真了四种异形光阑，其形状分别为正三角形、星形、方形和太极形，其示意图如图1所示。
图3：不同拓扑荷涡旋光经过三角形光阑后的衍射图样。
如图3所示，当涡旋光经过三角形光阑衍射后，一条边上的散斑数目恰好等于拓扑荷数加1，并且三角形衍射图样的朝向与拓扑荷的正负负号有关。
同样的我们可以分别计算出涡旋光经过星形光阑、方形光阑以及太极光阑之后的衍射图样，分别如图4、图5、图6所示。
图5：不同拓扑荷涡旋光经过方形光阑后的衍射图样。
图7：涡旋光经过三角形光阑后的孔衍射图样的演化过程
改变衍射屏的形状，我们同样可以模拟其他形状孔径的衍射图样。图8展示了涡旋光经过星形光阑衍射图样的形成过程。
图9：涡旋光经过方形光阑后的孔衍射图样的形成过程
同样的，图10展示了涡旋光经过方形孔径衍射图样的演化过程。
图11 实验光路示意图。BA：光斑分析仪；PC：笔记本电脑。
图13：涡旋光星形光阑衍射SLM加载图像示意图
（涡旋光拓扑荷为4的图例）
图15：涡旋太极形光阑衍射SLM加载图像示意图
（涡旋光拓扑荷为4的图例）
具体的衍射实验结果如图16-图19所示，图中的实际物理尺寸均为1cm*1cm。可以发现实验结果通理论仿真结果十分吻合。这表明理论仿真结合SLM实验研究涡旋光束的衍射特性是一套切实可行的研究方法，相信该研究范式在其他光场传输研究中也能发挥其效果。
图17：不同拓扑荷涡旋光经过星形光阑后的衍射图样实验结果。
图19：不同拓扑荷涡旋光经过太极光阑后的衍射图样。
参考文献
[1] 1. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics. New York, NY, USA:McGraw-Hill2005.
[2] C. Rosales-Guzmán and A. Forbes, How to Shape Light With Spatial Light.Modulators. Bellingham, WA, USA: SPIE,2017.
[3] Shen D, Wang K, Zhao D. Generation and propagation of a new kind of power-exponent-phase vortex beam[J]. Optics express, 2019, 27(17): 24642-24653.